Deux lycéennes américaines redémontrent le théorème de Pythagore par la trigonométrie après 2 000 ans

Démontrer le théorème de Pythagore sans jamais l’utiliser : un défi que la communauté mathématique jugeait impossible depuis plus de deux millénaires vient d’être relevé par deux lycéennes américaines. Ne’Kiya Jackson et Calcea Johnson, alors élèves au lycée St. Mary’s Academy de La Nouvelle-Orléans, ont présenté en 2023 une démonstration inédite du célèbre théorème, fondée uniquement sur la trigonométrie. Leur travail, salué par les experts, a été publié dans la revue American Mathematical Monthly, selon Futura Sciences.

Le théorème de Pythagore, énoncé il y a plus de 2 000 ans, stipule que dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Jusqu’à présent, toutes les démonstrations reposaient sur des méthodes géométriques ou algébriques. Personne n’avait réussi à établir ce théorème par la seule trigonométrie, et pour cause : les fonctions comme le sinus et le cosinus y sont intimement liées. Les utiliser pour le prouver revenait à un raisonnement circulaire, où l’on part de ce que l’on cherche à démontrer.

C’est précisément ce piège que les deux jeunes femmes ont contourné. Dès 2022, elles ont choisi de repartir des principes fondamentaux de la géométrie : les propriétés des angles et les relations de proportionnalité. Leur idée ? Construire des triangles rectangles et d’autres figures à partir de ces proportions, puis redéfinir les fonctions trigonométriques en s’appuyant sur les angles de leurs figures. Cette méthode leur a permis d’établir des relations entre les longueurs des côtés, sans invoquer le théorème lui-même.

En exploitant des identités trigonométriques comme la célèbre égalité « sin²(x) + cos²(x) = 1 », elles ont simplifié ces relations jusqu’à obtenir l’équation « a² + b² = c² ». La preuve était établie : il était possible de démontrer Pythagore sans jamais l’utiliser. Une avancée qui a immédiatement suscité l’enthousiasme de la communauté scientifique.

Leur article, publié dans American Mathematical Monthly, ne se limite d’ailleurs pas à une seule démonstration. Il en propose plusieurs, dont l’une permet même d’en générer cinq autres. Une méthode qui pourrait, à terme, ouvrir de nouvelles perspectives en mathématiques, tant pures qu’appliquées. Elle pourrait également inspirer d’autres chercheurs à revisiter des théorèmes pourtant solidement établis, selon Futura Sciences.

Une reconnaissance immédiate et une publication dans une revue de référence

Après quatre ans de travail, Ne’Kiya Jackson et Calcea Johnson ont présenté leurs recherches lors de la conférence annuelle de la Mathematical Association of America, à Atlanta, en mars 2023. Leur approche a été saluée dès les premiers échanges, et leur article a été publié quelques mois plus tard dans la revue American Mathematical Monthly, une référence dans le domaine. Cette reconnaissance rapide témoigne de l’importance de leur contribution.

« Cette démonstration montre que même sur un sujet aussi ancien que Pythagore, les mathématiques réservent encore des découvertes », souligne Calcea Johnson, aujourd’hui étudiante en génie environnemental à l’université d’État de Louisiane. De son côté, Ne’Kiya Jackson, désormais en pharmacie à l’université Xavier de Louisiane, ajoute : « Avec de la passion et de la persévérance, tout devient possible. » Leur succès illustre que les jeunes talents peuvent contribuer de manière significative à l’avancement des connaissances, même dans des domaines aussi établis.

Leur exploit rappelle également que les mathématiques restent une science vivante, où des défis millénaires peuvent encore être relevés. Comme le rappelle Futura Sciences, leur travail ne se contente pas de valider une nouvelle méthode : il ouvre des pistes pour revisiter d’autres théorèmes, en s’affranchissant des raisonnements traditionnels. Une avancée qui pourrait, à long terme, transformer l’enseignement et la recherche en mathématiques.

Une méthode qui pourrait inspirer de nouvelles recherches

La démonstration des deux lycéennes repose sur une approche originale, où la trigonométrie devient un outil pour explorer les propriétés géométriques, plutôt qu’un simple moyen de calcul. Leur méthode pourrait ainsi être adaptée pour étudier d’autres théorèmes ou problèmes mathématiques, en évitant les raisonnements circulaires. « Leur travail pourrait inspirer d’autres chercheurs à explorer des voies similaires », explique un mathématicien cité par Futura Sciences.

Par ailleurs, leur article propose plusieurs démonstrations du théorème de Pythagore, dont une qui permet d’en générer d’autres. Cette flexibilité pourrait être exploitée pour développer de nouvelles applications, notamment en physique ou en ingénierie, où les identités trigonométriques jouent un rôle clé. « C’est une avancée qui dépasse largement le cadre académique », précise Calcea Johnson.

Les deux jeunes femmes espèrent désormais que leur travail servira de catalyseur pour de futures recherches. « Nous voulons montrer aux étudiants que même les problèmes les plus anciens peuvent être revisités », ajoute Ne’Kiya Jackson. Leur message est clair : la passion et la curiosité restent les moteurs de l’innovation, quel que soit l’âge ou le niveau.

Leur démonstration rappelle aussi que les avancées scientifiques ne sont pas réservées aux seuls experts. « Même les lycéens peuvent contribuer à la science », souligne Calcea Johnson. Un message d’espoir pour les générations futures, qui montre que la recherche reste un domaine accessible à tous, à condition d’y mettre de la persévérance.

Pour l’heure, Ne’Kiya Jackson et Calcea Johnson continuent leur parcours académique. Leur contribution à l’histoire des mathématiques est déjà un héritage précieux, mais leur ambition ne s’arrête pas là. Comme elles le déclarent elles-mêmes : « La science est un voyage sans fin, et nous n’en sommes qu’au début. »